一阶微分方程

一、可分离变量的微分方程

二、齐次方程

1. 齐次方程

变量代换： $u={\displaystyle \frac{y}{x}},y=ux$ 求导得到： ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}=u+x{\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}}=\phi (u)$
分离变量得： ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}u}{\phi (u)-u}}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{x}}$

2. 可化为齐次的方程

1. 如果 ${\displaystyle \frac{a_1}{a}}\ne {\displaystyle \frac{b_1}{b}}$

变量代换：$x=X+h,y=Y+k$ 求导得到：$\mathrm{d}x=\mathrm{d}X,\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y$
$h,k$ 为待定系数，使得

得到齐次方程：

2. 如果 ${\displaystyle \frac{a_1}{a}}={\displaystyle \frac{b_1}{b}}$, 令 ${\displaystyle \frac{a_1}{a}}={\displaystyle \frac{b_1}{b}}=\lambda$

变量代换：$v=ax+by$ 求导得到：${\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}=a+b{\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}={\displaystyle \frac{1}{b}}({\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}-a)$
得到可分离变量的方程：